Как уговорить родителей купить собаку?

Друзей не купишь ни за какие деньги — исходите из этого факта.
Поскольку вы уже взрослый ребёнок (пардон за фамильярность), то попробуйте тупо походить в кинологическую службу; там где собак дрессируют. Со временем в процессе общения с людьми вам предложат щенка (излишнего).
Парня заведи себе у которого есть собака – считаю это лучший вариант. если речь идёт о Собаке с большой буквы, а не о всяких породы двортерьер.

значит маме виднее, она вас лучше знает

Так а ты докажи, что будешь, докажи, что ты уже взрослый, самостоятельный и ответственный человек. В чем проблема-то?

Ну так мама вас не первый день знает, видимо?
Дома были раньше или есть сейчас какие-нибудь животные?

Попроси сначало что нибудь по меньше, крысу какую нибудь или хомяка и покажи что ты умеешь ухаживать и будешь.

Маме наверное виднее. Тем более такой возраст, 13 лет, что через пару лет вы начнете интересоваться не собаками и все заботы о питомце лягут на мамины плечи. Как вариант - летние каникулы в самом разгаре, идите поработайте (и не надо ля ля, что возраст не позволяет, я работала в этом возрасте), заработайте на щенка, на корм ему, тогда мама поймет, что вы действительно достаточно взрослый человек способный не только кляньчит, но и обеспечивать своего питомца.

скажи что тебе нужен настоящий друг