можно ли как-то вывод (echo) перенаправить скажем, в текстовую область textarea?

А какой язык программирования? На php в принципе как два пальца в случае прямого вывода в браузер

Ну в php есть функция ob_start vs ob_get-content они как раз перехватывают stdout но до того как скрипт выполнится ты все равно ничего не увидешь так как текст будет отправлен по завершении работы скрипта . Я предпрлагаю что подобное можно реализовать доработав напильником апач с пыхой (как это сделано для xdebug) чтобы они на кастомный порт слали инфу о ходе процесса но я не уверен что яваскрипт можно заставить слушать порт отличный от восьмидесятого
П с кстати если тебе для отладки то нафига изобретать велосипед есть же дохрена готовых решений. Тот же Xdebug

<textarea><?php echo 'hello world'; ?></textarea>

Что тут необычного? Главное понимать принцип действия серверных языков, они подготавливают ответ, и отправляют пользователю. Когда пользователь меняет данные, на сервере ничего не происходит, пока не будет отправлен запрос. Вопрос решается с помощью клиентского языка. Например, js. Для пхп можно сделать так:
echo "$какой_то_текст"

И пользователь увидит textarea с каким-то текстом

можно включить буферизацию вывода функцией ob_start().
далее, получить содержимое буфера функцией ob_get_contents() и вывести его в нужном месте

$text = file_get_contents('path\to\file.txt');//path\to\file.txt - путь к файлу на сервере
echo "textarea".$text."/textarea"
textarea возьми в <>

Что может быть проще?
Говнокод:
$text = 'Вот такая фигня будет выводиться в поле вывода текста';
echo ''.$text.'';