Лёгкую пружину длиной 30
см разрезали на три части с коэффициентами жёсткости k
, 2k
и 2k
, где k=50
Н/м. Получившиеся пружины прикрепили к доске массой m=2
кг так, как показано на рисунке. Точки подвеса верхних пружин находятся на одной высоте, в состоянии равновесия доска горизонтальна, а пружины вертикальны. Известно, что нижняя пружина в состоянии равновесия сжата на столько же, на сколько растянута пружина жёсткостью k
. Определите, на сколько сжата нижняя пружина. Ответ дайте в см, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g=10
Н/кг.
m*g = 2*k*x1 + 2*k*x2 + k*x1
x2*2*k = x1*k, x1 = 2*x2
m*g = 5*x1*k
x1 = m*g/(5*k) = 0,08 м = 8 см.
Две верхние пружины дают
1/K = 1/k + 1/(2k)
K = 2/3 k
из рисунка
K x + mg - 2k x = 0
x = (2k -K)/(mg)
x=...
Используем св-во:
Если пружину жесткостью k разрезать пополам, то получим две короткие пружины с одинаковой жесткостью 2k
Три пружины имели разную начальную (недеформированную) длину:
☛ одна пружина (верхняя левая) была с нач. длиной ℓ₀₁=30/2=15 см,
у нее жесткость k = 50 Н/м,
она удлинилась на
х₁ = ℓконеч₁ - ℓ₀₁=ℓконеч - 0,15 (это в метрах)
☛ две других были с одинаковой начальной длиной ℓ₀₃=ℓ₀₂=30/4=7,5 см,
у них обеих жесткость 2k = 100 Н/м
Но продеформировались они совершенно по-разному:
Нижняя сжалась на
х₂ = х₁ = ℓ₀₂ - ℓконеч₂ = 0,075 - ℓконеч₂ (это тоже в метрах)
Верхняя правая растянулась на
х₃ = ℓконеч₃ - ℓ₀₃=ℓконеч₃ - 0,075 (и это в метрах)
Т.е. в начальном недеформированном состоянии верхняя левая длиннее верхней правой на
△ℓ = ℓ₀₁ - ℓ₀₃=0,15 - 0,075= 0,075 (в метрах)
Условие горизонтальности доски (тут надо бы рис., но мне чёта лень с ним возится, в комментах могу нарисовать):
х₃ = △ℓ + х₁ =[учтём х₂ =х₁]= 0,075 + х₂
х₃ = 0,075 + х₂ ❶
Ну просто более короткая верхняя правая пружинка удлинилась СИЛЬНЕЕ, чем верхняя левая, х₃ > х₁ = х₂
Условие равновесия доски (сила mg вниз = трём силам вверх):
kх₁ + 2kх₂ + 2kх₃ =mg
или т.к. х₁=х₂, то
kх₂ + 2kх₂ + 2kх₃ =mg ❷
❶ и ❷ — это два уравнения с 2-мя неизвестными х₂ и х₃ (в метрах)
Нужно найти х₂ (в метрах)
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться законом Гука для каждой пружины:
F = k * x
где F - сила, действующая на пружину, k - коэффициент жесткости пружины, x - деформация пружины.
Зная коэффициенты жесткости для каждой пружины, мы можем записать уравнения для каждой пружины:
F1 = k * x1
F2 = 2k * x2
F3 = 2k * x3
Масса доски m действует на пружины 2 и 3. Мы можем записать уравнение равновесия для каждой пружины:
F1 + F3 = m * g
F2 + F3 = m * g
Заметим, что нам известно, что пружина F3 сжата на столько же, на сколько растянута пружина F1:
x3 = x1
Подставим выражения для сил из уравнений Гука в уравнения равновесия:
k * x1 + 2k * x1 = m * g
2k * x2 + 2k * x1 = m * g
Разделим оба уравнения на k:
x1 + 2 * x1 = (m * g) / k
2 * x2 + 2 * x1 = (m * g) / k
x1 = (m * g) / 3k
x2 = (m * g - 3k * x1) / 2k
Осталось только подставить значения в данное выражение и вычислить:
x1 = (2 * 10) / (3 * 50) = 0.13 м = 13 см (округлим до десятых)
Таким образом, нижняя пружина сжата на 13 см
хорошо у нас не было этого
значит, смещение для всех одинаково...