Задача по Python

Через сложения с делением одного из слагаемых пополам.

 def mul(a, b):

    sb = -(b < 0)

    p, a, b = 0, (a ^ sb) - sb, (b ^ sb) - sb

    while b:

        if b & 1: p += a

        a, b = a + a, b >> 1

    return p



print(mul(*map(int, input().split()))) 

Нормализуем знаки, чтобы "b" всегда было > 0 (т.е. если минус есть, то он должен быть в "a").
Дальше в цикле удваиваем первое слагаемое и уполовиниваем второе, добавляя первое к произведению тогда, когда младший бит второго равен 1.
Алгоритм требует логарифмического количества сложений.

Для проверки можно вбить, например, такие числа:

 1000000000000000000 1000000000000000000 

И сравнить результат с результатом алгоритма следующего ответчика.

Когда-то читал ещё в советских изданиях, что русские крестьяне, не знавшие таблицы умножения, использовали этот способ. Быстро и надёжно, а из умений требует только складывать и делить на 2 с остатком. И у египтян с эфиопами был похожий метод. А то "Ада Лавлейс", "Чарлз Бэббидж", фу ты ну ты...

Ещё вариант - сложениями составить "таблицу умножения" из цифр, состоящих из некоторого количества бит, например, 4 или 5. И тогда делить второе слагаемое не на 2, а на 2 в степени этого количества бит.
Сложность останется логарифмической, но с более высоким основанием, т.е. алгоритм будет быстрее в константное число раз.
Такой подход оправдан для сложения чисел из нескольких десятков десятичных цифр и более.