можно ли в квадрате 5х5 закрасить 16 клеток так, чтобы в любом квадрате 2х2 было закрашено не более двух клеток

a – число закрашенных клеток, входящих в один квадратик 2х2 (угловые)
b – в два квадратика, (примыкающие к стороне, но не угловые)
в три - нет
c - в четыре квадратика (внутренние)
a+b+c =16

В каждом квадратике закрашено не более 2 клеток, число квадратиков равно 16 (с центрами во внутренних узлах квадрата, число которых равно 4*4=16)

С учётом вхождения клеток в разные квадратики получаем

a+2b+4c <=16*2
c=16-b-a,
a+2b+64-4a-4b <=32
3a+2b >=32

Рассмотрим угловую клетку и две, примыкающие к ней.
Таких «уголков» 4, в каждом – не более 2 закрашенных клеток видов a или b.
Итого – не более 8.
В оставшихся 4 клетках вида b – не более 4.
Итак,
a +b <=4+8 =12

Получаем
3a+2b >=32 (*)
-a-b >= -12
-2a -2b >= - 24 (**)
Складывая (*) и (**), получаем
a >=8 – противоречие, т. к
a – число закрашенных угловых клеток, a <=4

Ответ. Нельзя.



А вот если проделаем то же самое с a+b+c=15, то получим
3a+2b <=28
-2a-2b >= 24
a >=4
Т. к. a <=4, то а=4 - должны быть закрашены все угловые.

Честно говоря не придумал как (((
10, 12, 13, 14, 15 - можно разместить, чтоб удовлетворять этому условию. Другие комбинации в голову не лезут