Решить в целых числах.

Сомневаюсь, надо ли, ведь все уже решили, но ...напишу:

n² - 19n + 99 = m²
перепишем: n² - 19n + 99-m² = 0.
n= (19+/-√361-4*99+ 4m²)/2 = (19+/-√4m²-35)/2
Т. к. n- целое, дискриминант – полный квадрат.
4m²-35= y²
4m² - y² = 35.
(2m-y)(2m+y)= 35

a). 2m+y = +/-35
....2m-y = +/-1
m = +/-9
n² - 19n + 18 = 0.
n = 1 или n = 18.

b). 2m+ y = +/-7
.. .2m- y = +/-5
m = +/-3
n² - 19n + 90 = 0.
n = 9 или n = 10.

Всего 8 пар решений
n=1; m=+/-9;
n=18; m=+/-9
n=9; m=+/-3
n=10; m=+/-3

Методом перебора.
n = 1, m = 9
n = 9, m = 3
n = 10, m = 3
n = 18, m = 9
Перебрав n от 1 до 400, больше целочисленных решений не нашел.

n^2-19n+99=m^2
4n^2-2*2n*19+19^2+4*99-19^2-4m^2=0
(2n-19)^2-4m^2=-35
(2n-19-2m)(2n-19+2m)=-35

1.
2n-19-2m=+/-1
2n-19+2m=-/+35
4n-38=-/+34 – нет решений
4n=4, n=1, m=-9
4n=72, n=18, m=9

2.
2n-19-2m=+/-35
2n-19+2m=-/+1
4n-38=+/-34
n=18, m=-9
n=1, m=9

3.
2n-19-2m=+/-5
2n-19+2m=-/+7
4n-38=-/+2
n=9, m=-2
n=10, m=2

4.
2n-19-2m=+/-7
2n-19+2m=-/+5
4n-38=+/-2
n=10, m=-3
n=9, m=3

n=1,m=9
Решаем методом подбора.

n^2-19n+99=m^2
Преобразуем:
(n-9)(n-10)+9=m^2
(n-9)(n-10)=(m-3)(m+3)

Теперь хорошо видно, что ((n-9)(n-10))

или равно 0 (Тогда n=9 или n=10, а значит m=3 или m=-3)

или это произведение двух натуральных чисел, отличающихся на 1.
Теперь надо рассмотреть остатки от деления на 2 и на 9,
и будет понятно, что m -- нечетное и делится на 3. Обозначим m=3(2k+1)
получится (n-9)(n-10)=36k(k+1)

Перебирай варианты:
1)n-9=(+ или -) 4*(k+1)
n-10=(+ или -) 9*k

2) n-9=(+ или -) 4*(k+1)
n-10=(+ или -) 9*k
И так далее. Подходит такой:
n-9= - 4*(k+1)
n-10= - 9*k
Тогда n=1, k=1, m=3(2k+1)=9

Ответ (9,3) (9,-3) (10, 3) (10,-3) (1,9)

Приходи к нам в гости:

математика везде