Школы

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА. ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ СРОЧНО НАДО

Билеты экзамена по геометрии в 7 классе 2014-2915 учебный год.
Билет №1
1.Аксиома о прямой.
2.Докажите первый признак равенства треугольников.
3.Задача.

Билет №2
1.Что называется расстоянием от точки до прямой?
2.Докажите второй признак равенства треугольников.
3.Задача.
Билет №3
1.Какие прямые называются параллельными?
2.Докажите третий признак равенства треугольников.
3.Задача.
Билет №4.
1.Что называют окружностью? Назовите элементы окружности.
2.Докажите теорему о свойстве равнобедренного треугольника (об углах при основании).
3. Задача.
Билет №5
1.Какие углы называются смежными?
2.Докажите теорему о свойстве равнобедренного треугольника (о биссектрисе угла).
3. Задача.
Билет №6.
1.Какие углы называются вертикальными?
2.Докажите признак параллельности прямых ( о накрест лежащих углах).
3. Задача.
Билет №7.
1.Дать определение треугольникам по видам углов.
2. Докажите признак параллельности прямых (об односторонних углах).
3.Задача.
Билет №8.
1.Прямоугольный треугольник. Назвать его элементы.
2.Докажите признак параллельности прямых (о соответственных углах).
3. Задача.
Билет №9.
1.Что называют медианой треугольника?
2.Докажите теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей ( о накрест лежащих углах).
3.Задача.
Билет №10.
1.Что называют высотой треугольника?
2. Докажите теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей ( о соответственных углах).
3.Задача.
Билет №11.
1.Что называют биссектрисой треугольника?
2. Докажите теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей ( об односторонних углах).
3.Задача.
Билет №12.
1.Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
2.Докажите теорему о сумме углов треугольника.
3.Задача.
Билет №13.
1.Сформулируйте следствие из аксиомы параллельных прямых.
2.Докажите теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника.
3.Задача.
Билет №14.
1.Что называют лучом?
2.Докажите теорему и сформулируйте следствие из нее о неравенстве треугольника.
3. Задача.
Билет №15
1.Что называют углом? Назовите элементы угла.
2.Докажите теорему о свойстве прямоугольного треугольника ( о катете против угла в 30 градусов).
3.Задача.
Билет №16
1.Что называют градусной мерой угла? Что такое градус?
2. Докажите теорему о свойстве прямоугольного треугольника (о катете равном половине гипотенузы).
3.Задача.
Билет №17.
1.Назовите виды углов в соответствии с их градусными мерами.
2.Докажите признак равенства прямоугольных треугольников ( о катетах и о катете и остром угле)
3.Задача.
Билет №18.
1.Сформулируйте следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника ( о гипотенузе и катете).
2. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников (о гипотенузе и остром угле).
3. Задача.
Билет №19.
1.Сформулируйте следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника ( признак равнобедренного треугольника).
2.Докажите признак равенства прямоугольных треугольников (о гипотенузе и катете).
3.Задача.
Билет №20.
1.Сформулируйте аксиому об отрезке, равном данному.
2.Докажите свойство параллельных прямых. Дайте определение расстоянию между прямыми.
3.Задача.
СУ
Света Улахович
138
Билет №1. 2).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁ и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.
Источник: https://znanija.com/task/1340566
NJ
Natalia Joian
54 699
Лучший ответ
1.Аксиома прямой. Аксиома прямой : через любые две точки на плоскости можно провести только одну прямую.
2.Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1. первый признак равенства треугольников - доказательство

Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.

первый признак равенства треугольников - доказательство

Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.

первый признак равенства треугольников - доказательство

Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.

первый признак равенства треугольников - доказательство

Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.
ЕЧ
Елена Чуксеева
417
Елена Чуксеева Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой
Пусть A1B2C2 – треугольник, равный треугольнику ABC. Вершина B2 расположена на луче A1B1, а вершина С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1. Так как A1B2 = A1B1, то вершина B2 совпадает с вершиной B1. Так как ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 и ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, то луч A1C2 совпадает с лучом A1C1, а луч B1C2 совпадает с лучом B1C1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вершиной С1. Треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC
Елена Чуксеева Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство.
Пусть треугольники ABC и A1B1C1 такие, что AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, что треугольники не равны. Тогда ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.
.
Елена Чуксеева Пусть треугольник A1B1C2 – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой A1B1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1С2. Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Елена Чуксеева 4.1.Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называется окружностью.
Отрезок, соединяющий центр с какой- либо точкой окружности, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется её хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется её диаметром.
Елена Чуксеева 4.2. Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием AB.
свойства углов равнобедренного треугольника
Треугольник ACB равен треугольнику BCA по первому признаку равенства треугольников. AC = BC, CB = CA, ∠ C = ∠ C. Следовательно ∠ A = ∠ B. Теорема доказана.
Елена Чуксеева 5.1 Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной

общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг

другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным

будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным

является угол (180 – x) градусов.
Елена Чуксеева 5.2. аким же образом, используя формулу для площади треугольника, можно доказать и теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.
Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).
Если AA1 ¾ биссектриса угла A треугольника ABC, то
BA1 : A1 C = BA : AC.
Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.
Елена Чуксеева 6.1 Вертикальные углы — это пары углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Елена Чуксеева 6.2 Из равенства треугольников следует, что ∠ CAB = ∠ C1BA и ∠ CBA = ∠ C1AB и они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, a прямая BC1 совпадает c прямой b. Отсюда следует, что через две различные точки С и С1 проходят две различны прямые a и b. Это противоречит аксиоме о том, что «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Значит, прямые параллельны.
Елена Чуксеева 6.2. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Доказательство.

Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы.

признак параллельности прямых

Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке С.
Отложим от секущей AB треугольник ABC1, равный треугольнику ABC, так, что вершина С1 лежит в другой полуплоскости, чем вершина С.
По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых a, b и секущей AB равны.
Елена Чуксеева 7.1 Виды треугольников по углам
у треугольника могут быть все три угла острыми, такие треугольники называются остроугольными;
у треугольника могут быть 2 острых угла и один прямой, такие треугольники называются прямоугольными;
у треугольника могут быть 2 острых угла и один тупой, такие треугольники называются тупоугольными.
Елена Чуксеева 7.2. Пусть при пересечении прямых а и b секущей c сумма односторонних углов равна 180. Т. к. эти углы 3 и 4 смежные, то 3+4=180. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые параллельны
Елена Чуксеева 8.1. Вершины треугольника есть ничто иное, как обычные точки в вершинах углов, образующих треугольник. Вы знаете, что точки на плоскости обозначаются большими латинскими буквами: A, B, C, D и т. д. Поэтому когда Вас просят указать вершины треугольника, Вам просто нужно через запятую выписать названия этих точек (см. рисунок).
Елена Чуксеева 8.1. Стороны треугольника - это отрезки, образующие его. Отрезок - это часть прямой, ограниченной двумя точками - концами отрезка. Отрезки обозначаются и записываются по названию своих концов, т. е. парой больших латинских букв, например: AB, BC, CD и т. д. Помните, что один и тот же отрезок можно назвать как AB, так и BA - разницы нет никакой (см. рисунок).
Елена Чуксеева 8.1. Внутренние углы получившегося треугольника можно назвать по его вершинам, только перед записью каждого угла нужно указать специальный символ: (см. рисунок). Углы треугольника можно записать и по-другому. Каждый угол можно записать тремя точками, только нужно помнить, что вершинка угла всегда должна находиться в середине.
Елена Чуксеева 9.1. Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Елена Чуксеева 8.2 Дано: прямые a и b. С - секущая.
Док-во: 1. Т. к. угол 1 и угол 3 - накрест. леж. при пересечении прамых a b секущей С, то прямые параллельны (по свойству о паралл. прямых)
2. Т. к. прямые паралл., то соответств. углы (какие у тебя по рисунку получатся) - равны.
Елена Чуксеева 9.2.Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.
Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.
Елена Чуксеева 10.1 Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника.
Елена Чуксеева 10.2Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c . Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны
Параллельные прямые пересеченные секущей
Так как a ll b, то и накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств угол 1= углу 3 и угол 2= углу 3 следует, что угол 1= углу 2 Теорема доказана.

Похожие вопросы