Должен ли центральный защитник в футболе бегать по всему полю? Или же только на своей половине поля?

Смотря какая тактика и/или схема. Вспомни Пике в матче Испания-Чехия, он и забил единственный гол в матче. Но, лично я считаю, что 1 центральный защитник должен бегать в атаку при "стандартах", а второй всегда должен оставаться на своей половине, ну чтоб соперникам было сложнее провести контратаку.

Можешь бегать по всему -- бегай по всему. Но без ущерба для основных обязанностей.

Главная задача центрального защитника - защита собственных ворот и прежде всего он должен, как правило, быть высокого роста и обладать прыгучестью, чтобы выигрывать верховые мячи у соперника. Центральные защитники переходят на сторону соперника, как правило, только при розырыше "стандартов": угловых или штрафных, поскольку имеют больше шансов выиграть верховые мячи. Для "бегания" же по всему полю в команде есть нападающие, полузащитники и крайние защитники, которые обладают более высокой скоростью и выносливостью, чем "стопперы".

Основные задачи ЦЗ, организованная игра (не беготня) в своей штрафной с точным длинным или средним пасом (а не тупым выносом) в атаку, периодические подключения к стандартам у чужих ворот

Центральный защитник
Центральный защитник (англ. Centre back или centre half или central defender или stopper), как следует из названия, играет вблизи центральной оси поля. Основная цель — сохранить ворота в неприкосновенности и вообще не подпустить нападающих, обычно центрфорвардов, на ударную позицию. Центр поля — очень важная зона; помимо номинальных центральных нападающих сюда, к ним на помощь, могут прийти крайние нападающие либо полузащитники. В современном футболе команды играют в два, реже три центральных защитника, между которыми важна сыгранность.

Существует две основные оборонительные стратегии — зональная защита, когда каждый из защитников следит за определённой зоной поля, и персональная, когда каждый защитник следит за нападающим, которого ему указал тренер.

Обычно центральные защитники — физически крепкие, высокие игроки с отличным умением играть головой и действовать в отборе мяча. В слабых клубах на них ложится только функция защиты. Однако, для серьёзного клуба очень важно на этой позиции иметь грамотного игрока, способного видеть поле, умеющего отдать хороший пас, который может моментально перевести игру от обороны к атаке.

Часто центральные защитники идут в штрафную соперника при подаче угловых и розыгрыше штрафных, поскольку умение играть головой и высокий рост позволяют им забить гол.

Среди защитников такого типа известны Бобби Мур, Паоло Мальдини, Фабио Каннаваро.

лично мне нравится тактика когда самый значимый игрок в команде заниет всю линию на которой действует по горизонтали и по вертикали