Обязательно ли указывать в анкете на загран паспорт все места работы и учёбы? Они эту информацию проверяют?

Все сведения за последние 10 лет должны быть подтверждены выпиской из трудовой и подписью руководителя отеда кадров. Если в это время учились - нужно указать учебное заведение, его точный адрес. А если не работали, пишите даты и укажите - "не работала" и адрес, по которому проживали в это время.

обязательно. проверяют все. иначе потом будите переделывать полгода..

ФМС не проверяет. Данные проверяет ФСБ, куда передается ваша анкета.

ну, проверяют или нет - не знаю.
но то что должно быть заполнено всё по годам и датам - это точно.
я когда эту графу заполняла писала всё, включая те периоды когда не работала, очень муторно, но зато сразу анкету приняли ничего переделывать не пришлось.

раз существуют правила...

при поездке в другие страны им важно не допустить бесконтрольную миграцию. чтобы человек не имел много стимулов остаться в другой стране, и начинать там работу.
поэтому и спрашивают. кроме того, если места работы связаны с силовыми структурами и научно-исследовательскими работами, то могут тщательнее проверять.
написать что в трудовой книжке указано, и достаточно

Даже если не проверяют то анкету без этой информации просто не примут.

Насчет учебы сомневаюсь, а вот места работы (за 10 лет) сверяют с трудовой

Могут проверить.

Последние 10 лет, т. е с мая 2001 по май 20011. На данный момент.