прочёл, что при поездке на Украину с гражданским паспортом РФ, зачастую в нём ставят штамп о пересечении границы

Это было года 4 тому назад. Потом людям приходилось менять паспорта.
После этого с украинскими пограничниками провели дополнительную учебу и теперь они наши паспорта не портят. Штамп ставят в загранпаспорт или на миграционную карточку, если человек едет с обычным паспортом.

Раньше ставили, бывало такое. Теперь нет. Дважды пересекал границу с обычным паспортом, ни разу штампы не ставили. А вот в загран паспорт ставят.

Между Украиной и Россией существует Соглашение о безвизовых поездках граждан от 19.01.1997. Так как речь идет о выезде из России – руководствоваться нужно ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО законодательством РФ.
Для взрослых и детей старше 14 лет необходим паспорт гражданина РФ либо загранпаспорт.
При поездке с загранпаспортом вам НЕ придется заполнять украинскую иммиграционную карточку, отметки о пересечении границы Украины поставят только в паспорт, по ним же будут контролировать срок пребывания в стране. Но если вы посещаете Украину часто и опасаетесь, что странички загранпаспорта быстро закончатся, выход один: пересекать границу по внутреннему паспорту и заполнять украинскую иммиграционную карточку. Дети младше 18 лет освобождены от карточки в любом случае <п. 25 Правил въезда иностранцев и лиц без гражданства в Украину, их выезда из Украины и транзитного проезда через её территорию, утв. Постановлением Кабмина Украины от 29.12.1995 N 1074, п. 1 Приказа Администрации Госпогранслужбы Украины от 02.08.2010 N 583>.

Единственное требование к "внутреннему" паспорту гражданина РФ, предусмотренное Соглашением о безвизовых поездках, а также российским и украинским законодательством: документ должен быть действителен . Положение о паспорте гражданина РФ предусматривает закрытый перечень случаев, в которых паспорт становится недействительным. На этот и только на этот перечень нужно ориентироваться прежде всего при любых придирках к "внутреннему" паспорту со стороны российских или украинских пограничников. Если ваш случай ни под один пункт перечня не подпадает, то, скорее всего, вас разводят, а паспорт вполне подходит для поездки. Итак, этот перечень таков <Соглашение о безвизовых поездках граждан от 16.01.1997, пп. 6, 7, 12 Положения о паспорте гражданина РФ, утв. Постановлением Правительства РФ от 08.07.1997 N 828>:
а) достижение гражданином возраста 20 или 45 лет;
б) изменение, в установленном порядке, гражданином ф. и. о. , сведений о дате или месте рождения;
в) изменение пола;
г) непригодность паспорта к дальнейшему использованию из-за износа, повреждения, иных подобных причин;
д) обнаружение неточности или ошибочности произведенных в паспорте записей;
е) внесение в паспорт сведений, отметок и записей, не предусмотренных Положением о нем.

Неправда. Никто никакие штампы в гражданском паспорте РФ не ставит...