Покупая билет в кассе аэропорта, нужно ли потом проходить онлайн-регистрацию, или в билете сразу будет указано место?

Покупка билета это одно.
Регистрация на рейс это другое.
Это две разные операции, где бы вы ни покупали билет.

Регистрацию нужно проходить в любом случае.

Если нет возможности распечатать талон дома - то можно зарегистрироваться не печатая талон, а затем распечатать его в аэропорту на стойке регистрации, на терминале саморегистрации или (если ваш аэропорт вылета имеет такую возможность) воспользоваться мобильным посадочным талоном (QR-код в телефоне).

В конце концов, мобильная регистрация открывается у большинства а/к за 24 часа до вылета (у некоторых - ещё раньше), а уж за сутки-то можно изыскать возможность распечатать бумажку.

Регистрация на рейс с процессом покупки билета никак не связана. Где бы Вы ни купили билет, непосредственно перед вылетом всё равно надо регистрироваться, даже если место уже выбрано и указано в билете. Только что Вы имеете в виду под платной регистрацией в аэропорту? Платным может быть выбор конкретного места или регистрация раньше стандартного срока. Если же место Вам не принципиально и Вы готовы подождать до начала живой регистрации на стойке, то ничего доплачивать не надо.

раньше, в советских билетах печатали место сразу, кроме тех когда тебя подсаживали в промежуточном пункте

билет продается без места
регистрация бесплатна

Справедливости ради - есть АК, в которых при покупке биета можно сразу получить и посадочный талон с указанием места.

В кассе Вы купите билет, а проходя регистрацию Вы получаете посадочный талон