Почему греческие города-государства смогли выйти победителями в столкновении с огромной Персидской державой?

Потому что греки брали не чиссленостью, а дисциплинной и военной подготовкой и сплоченностью. А у персидского царя было сильное ядро, но остальное это был сброд с разных уголков империи, разношерстный.

Все предыдущие ответы не отвечают по существу на вопрос:
Можно говорить о нескольких причинах: 1) военная подготовка (дисциплина) греков, 2) "разношерстная" армия персов (племена были зависимы от царя, и могли бежать с поля боя, так как имели различные менталитет и общность, отличаясь от коренных персов, возникала угроза сепаратистских настроений) . 3) Наличие более мощного флота у греков (персы на Пелопоннес могли переправится только через пролив Гелеспонт (нынешн. Дарданеллы) , что затрудняло переброску основных сил) . 4) поражения персов в ключевых битвах
Но главная причина победы греков - наличие демократического (свободного) строя, когда все население могло сплотиться и сражаться за свою Родину. (деспотический режим в персидской империи не мог сплачивать разные народы, которые были покорены... )

300 спартанцев смотрели? Это не сказка от сценариста фильма...
Грекам помогла география и спартанцы - особой жизненной и боевой закалки люди, и греческое войско не было сплоченным как написали выше, в то время крупные города Греции устраивали междоусобные войны (как раньше на Руси) , персидское войско было таким же умелым как к примеру войска Афин (но до спартанцев им всем "как до Китая... ") и более многочисленным, плюс в их пользу было разнообразие родов войск.. .
Однако все персидские плюсы превратились в минусы и на суше и на море.. .На море греки топили их тяжелые корабли своими галерами, у греческих галер впереди ниже уровня воды находился заостренный таран.. .Груженые войсками, оружием, животными персидские корабли почти все пошли ко дну.
Короче почитайте... Фермопилы

Грекам запрещалось пить алкояды до 30 лет (то есть во время самого продуктивного периода). Результат: более здоровые дети, здоровые мужчины.
Воспитание одно из наиболее жестковатых и полных по содержанию, где была военная подготовка в том числе.