какая часть речи слова один

Слово ОДИН имеет много омонимов и омоформ. Это может быть:
◆ существительное (И один в поле воин, если он отважен);
◆ прилагательное (Даже голоса становятся на один манер при тождестве строя… Ю. М. Нагибин, «Дневник». Один = одинаковый);
◆ числительное (В лес идут, а на троих один топор берут. Пословица);
◆ местоимение (Тебя тут один гражданин спрашивал. Один = какой-то);
◆ частица (Все равны бобры, один я соболёк. Пословица. Один = только, лишь, лишь только).

В Ваших предложениях это:
◆ ЧИСЛИТЕЛЬНОЕ – Семь раз отмерь, ОДИН отрежь. Умножить ОДИН на три;
◆ МЕСТОИМЕНИЕ (указательное) – Рад, что вы со мной ОДНОГО мнения (= ТАКОГО ЖЕ);
◆ ЧАСТИЦА – Стишки для вас, ОДНА забава (= ТОЛЬКО). В словаре академическом этот пример даётся как употребление слова ОДНА как ПРИЛАГАТЕЛЬНОГО (= единственная). Так что в данном случае понять значение слова нелегко. На мой взгляд, это всё же частица;
◆ МЕСТОИМЕНИЕ (неопределённое) – Несколько таких черепах вез в нашем вагоне ОДИН молодой человек (= какой-то);
◆ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ – ОДНИМ дыша, ОДНО любя, Как он умел забыть себя! (в значении «ничто другое, кроме; указанное только или исключительно здесь»).

Словарь помогает разобраться:






Можно обратиться и к другим словарям.

Числительное, подлежащее

Числительное (местоименное прилагательное, местоимение) , тип склонения 1*b по классификации А. Зализняка.

Имя числительное

числительное
прилагательное
частица
частица

Первое - количественное числительное. второе - прилагателььное. кажется. Аналог "одинакового" (какого? )
Третье - "лишь" забава, не знаю, дополнение, наверное
четвертое - вагон пишется через А, а Один там прилагательное. "какой человек? Да хз, один какой-то человек"

Ваши примеры как раз показывают, как одно и то же слово может выступать в роли различных частей речи и нести различную функцию в предложении:
1) Семь раз отмерь, один отрежь - числительное в роли дополнения
2) Рад, что вы со мной одного мнения - прилагательное в роли определения
3) Стишки для вас - одна забава - ограничительно-выделительная частица
4) Несколько таких черепах вез в нашем вагоне один молодой человек - неопределенное местоимение

В последнем случае слово "один" соответствует неопределенному артиклю в иностранных языках (напр. a/an в английском языке или ein/eine в немецком)

имя числитильное, легкое, колчиственное (если не ошибаюсь)

числит

1 местоимение
2 прилагательное
3 прилагательное
4 существительное

числ