В турфирме сказали, что не нужно разрешение брать разрешение на вывоз ребенка за границу, если он вписан в загранпаспорт

Следует различать выезд из РФ и въезд в другие страны. Выезд из РФ и въезд в другую страну физических лиц контролирует пограничная служба Погранконтроль Погранслужбой РФ осуществляется на выезде из РФ и на въезде в РФ. Обычно после выезда из РФ следует въезд в другую страну, где действует Погранконтроль этой страны.
Для выезда из РФ ребенка с одним из родителей с ребенком разрешение на выезд от второго родителя НЕ НУЖНО. Об этом говорит Федеральный закон «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» ст. 20 -21
http://www.gpvu.ru/document.asp?did=188
Федеральная пограничная служба России на своем официальном сайте
http://fps.fsb.ru
Там же описано, что наоборот, основанием для ограничения выезда одного из родителей с ребенком может быть только заявление о несогласии водителя, оформленное и поданное надлежащим образом (как – описано) .
Въезд в другую страну
Часто при выезде в другие страны действует правило действия законов страны гражданства.
Поэтому точную информацию следует получить на сайте посольства.

Лучше взять. Стоит недорого, а в случае чего - греха не оберетесь.

Зависит от того, из какой страны вывозим.

Если Вы едите в безвизовую страну, то не надо никакого разрешения. Паспорт и свидетельство о рождении (если Вы записаны в свидетельстве, как мать).

Вписан ребенок или нет значения не имеет, а согласие брать обязательно нужно. При мне вернули маму с ребенком с таможни, и было все равно, что оплачена путевка и билеты на самолет.