Что пограничники проверяют при паспортном контроле? Какие у них базы данных на каждого человека?

В каждой стране по-разному. В нашей паспортным контролем при въезде-выезде занимается погранслужба ФСБ РФ. Проверяет она подлинность и действительность Вашего паспорта и наличие Вас в базе данных лиц, для которых пересечение границы РФ запрещено. Попасть в эту базу можно и с подачи МВД, и ФСБ, и МО, и ФССП, и даже Интерпола.
В странах шенгенской зоны и ЕС вообще контроль ведется и по базам конкретной страны, и по общим базам, как правило.

У них есть всё на каждого человека пересекающего границу, это те же чекисты.

Никаких баз данных ни у кого нет. Есть только базы данных должников, в которой ровно столько, сколько знает о тебе учреждение, которому ты должен, то есть банк или любое другое.

проверяют нет ли у вас задолженность на вашей родине.

У пограничников всех стран есть списки лиц, которым запрещен въезд в страну. Вот это они по базе данных и проверяют (при въезде в другую страну) . Свои пограничники проверяют, не внесены ли в список людей, которым запрещено выезжать из вашей страны.

И еще история поиска в Интернете

Проверяют нет ли задолженностей перед государством, не принадлежите ли вы НКО, не связаны ли вы с криминалитетом, хорошо ли учились в школе, с кем вступали в половую связь за последние 10 лет.

Смотрят на фото в паспорте, на вас и пропускают. Так в Турции. А в других странах я не знаю, как с этим обстоит дело.