Это правда, что если 1 раз поехать в Израиль, то больше никогда не пустят в мусульманские страны?

Скорее наоборот. И то не очень строго.

Это неправда...

трансгендеров не пускают

Не во все и не всегда. Египет, Иордания, ОАЭ, Оман и Марокко по этому поводу абсолютно не парятся. Сирия, Ливан, Ливия, Кувейт, Иран, Пакистан, Саудовская Аравия, Судан и Йемен -- наоборот.

Неправда.
Кстати, жильё со скидкой 1000 рублей есть здесь - https://www.booking.com/s/24_8/pavelc42

Бред, скорее в Израиль не пустят, если имеются штампы некоторых мусульманских стран)

Из Египта свободно можно перемещаться в турпоездку в Израиль и обратно через Табу и Эйлат.

нет, не правда. не верьте подобной чуши, а поезжайте и посмотрите это замечательную, Богом поцелованную землю.

попросите в израиле не вклеивать в паспорт визу

Правда, но лишь отчасти.
Например, в Иран совершенно точно не пустят со свежими израильскими штампами. Но, говорят, персидские погранцы, на штампы, которым уже пару лет и более, уже на это смотрят сквозь пальцы.
Но, как обычно, есть и обходные пути. Оформляйте второй загранпаспорт (законом это не запрещено), и с ним отправляйтесь в мусульманские страны. Никаких проблем тогда с въездом не будет.

После Израиля невозможно въехать только в 6 стран (Иран, Ливия, Ливан, Сирия, Йемен и Судан), Но очень сомневаюсь, что вам туда надо. В большинстве этого списка, идёт война.

Не ставят в Израиле штампы в паспорт. Уже несколько лет как. Просто дают карточку-вкладыш. А сами они присматриваются. По крайней мере, за турецкий выспрашивали преподробнейше - зачем, с кем и пр. Но больше ничего.