Поездка в Абхазию военнослужащему.

Ему должны рассказать об этом в части, где служит...

Однозначного ответа на Ваш вопрос нет.
Читайте статью 15 Федерального закона №114-ФЗ и ищите, нет ли там Вашего случая.
Обычно военнослужащие при поступлении (призыве) на службу подписывают документы, в которых чётко прописаны все ограничения.
Если Вашего случая не нашли, то имеет смысл обратиться к командованию с просьбой разрешить выезд (статья 19 того же закона).

Статья 19. Военнослужащие Вооруженных Сил Российской Федерации, а также федеральных органов исполнительной власти и федеральных государственных органов, в которых предусмотрена военная служба, за исключением лиц, проходящих военную службу по призыву, выезжают из Российской Федерации при наличии разрешения командования, оформленного в порядке, установленном Правительством Российской Федерации.

Никаких ограничений.

если он поедет в форме с медалями и с оружием то его не пустят))) если он поедет в гражданке и не будет там отдавать честь стоять по стйке смирно и отвечать на вопросы ТАК ТОЧНО и ЕСТЬ то его не вычислят)))

Военнослужащие для выезда за границу (а Абхазия это заграница), может это сделать только с разрешение командования. Он должен ЗАНАНЕЕ написать рапорт, что прошу с такой то период в время отпуска посетить соседнее государство.
Если ему разрешат, то может поехать.
Ехать на авось очень не советую. Факт пересечения им границы очень быстро вычислят особисты.

Смотря где служит

Разрешение нужно официальное от командира части, но скорее всего не разрешат