Как удобнее добраться из Иркутска в Кёнинг? Сколько это будет по деньгам?

Значит так. Если есть паспорт, но нет загранпаспорта - то выход только один - самолет.
Если есть загранпаспорт, то покупаете билет на поезд до Калининграда не позднее, чем за 28 часов до отхода. Предъявив кассиру именно загранпаспорт.
Если в вашем паспорте есть шенгенская виза, то на эти часы не обращаете внимание - покупаете билет хоть за полчаса до отхода.
Не слушайте советов доехать до Минска. Ни в коем случае. Ваш выезд в Калининград должен быть из города РФ (Москва, Питер, есть вагон из Челябинска).

Калининград наверное,
поездом до Минска или Москвы
далее Москва -Калининград два поезда
Виза Литвы выдается бесплатно в поезде
при наличии действующего загран паспорта за 24-48 часов билет нужно оформить

Цены на РЖД скоро наверное обгонят авиа - посмотрите сколько купе до Москвы хотя бы стоит. Можно конечно трястись 3,5 дня и в плацкарте тыщ за шесть, но вот на заранее взятые авиабилеты я отдал 20 000 в оба конца от волгограда через Москву - аналог вашего маршрута по расстоянию. И это меньше суток в дороге. И на самолёте ничего кроме паспорта не надо, а на жд как уже сказали - специальный УПД (типа транзитной визы) который ещё надо ждать (а вдруг на вашу фамилию в базе Литвы значится какой нибудь злейший враг их государства - разбирайся потом) и загранпаспорт.

удобнее всего на самолёте, чтобы не пересекать 3 границы... зачем дополнительные документы, калининградская область - РФ...