Как правильно написать заявление на увольнение что бы не отрабатывать 10 дней? какую причину указать?

Смена места жительства.

Прошу меня уволить, без отработки в связи с переездом на новое, место жительства

Я писала заявление на увольнение и сразу уходила на больничный на 2 недели и всё, никаких отработок.

Тогда только по соглашению сторон, если руководство навстречу пойдет, в этом случае трудовой договор может быть расторгнут в любое время, и, кстати, Вы должны предупредить работодателя о расторжении трудового договора не позднее чем за 14 дней, а не 10.

Никак, только если договоритесь с начальством. И не 10, а 14 календарных дней. Смена места жительства не является уважительной причиной

Причин много! Например, нарушение трудового законодательства в части задержки выплаты заработной платы (авансов) . Или, рабочее место не соответствует требованиям охраны труда в части обеспечения спецодеждой (обувью и т. п.) . График работы не соответствует требованиям ТК (переработка, например) . На каждом предприятии должна проводиться аттестация рабочих мест по условиям охраны труда, в которой указываются все вредные и опасные факторы рабочего процесса на каждом рабочем месте.

никакая причина не поможет вам избавиться от 2-хнедельной отработки.