Как доказать,что сферическая система координат ортогональна?

Может, есть специальные способы.. но если система ортогональна, то квадрат дифференциала дуги содержит количество членов, раное размерности пространства, и все они пропорциональны квадратам дифференциала каждой из координат. Тобиш если координаты, например, r, φ, θ, и система ортогональна, квадрат дифференциала дуги должен иметь вид h1dr+h2dφ+h3dθ (где h - коэффициенты Ламе).

В противном случае, вылезают члены вида h1*h2*dr*dφ*cos(a), где а - угол между линиями координатной сетки. Видно, что если система ортогональна (тобиш угол между линиями сетки равен 90 градусов) косинус обращается в ноль.. Если посмотреть первую квадратичную форму для сферы, видно, что подобных членов там не встречается, значит система ортогональна.

А вообще подобное, вроде бы, не требует доказательств, поскольку на сфере можно построить множество систем координат, и мы сами, намеренно выбираем именно ортогональную, для удобства расчетов..