какой корень у слова поощерять?

Корень: -поощр-; суффикс: -я-; глагольное окончание: -ть. [Тихонов] (Викисловарь)
Этимология
Поощрять. Заимствование из старославянского, где образовано префиксальным способом от глагола ощрити, восходящего к той же основе, что и острый.