как написать письмо консулу, чтобы продвинуть интервью

Какому консулу? Какой страны? Во многих консульствах есть возможность срочного рассмотрения заявления за дополнительную плату при наличии веских оснований.
Хотя может я не поняла термина "продвинуть"?...

велика возможность в отказе после таких "писем"

Нужно иметь очень веские основания для этого.