найти области определения f(x) = arcsin(1-x) + lg(lgx)

аргумент функции арксинуса должен быть в интервале от -1 до 1 включительно, т. к. синус может иметь лишь такие значения
то есть -1 <= 1 - x <= 1
представим это неравенство в виде системы
1 - х >= -1
1 -x <= 1
(два выражения объединяются слева фигурной скобкой)

преобразуем эту систему, поменяв знак
х - 1 <= 1
х - 1 >= -1

прибавим к обеим частям каждого неравенства 1
х <= 2
х >= 0

аргумент функции логарифма должен быть всегда положительным
то есть lgx > 0, отсюда х > 1
кроме того, выражение lgx также имеет свою область определения x > 0

итак в итоге получим систему
х <= 2
х >= 0
х > 1
х > 0

В итоге область определения функции f(x) следующая
1 < x <= 2