как Извлечь корень из 680

Калькулятором.

Разложением на множители.
680 делится на 4 (два раза на 2):
680=340*2=170*4.

Никакие 26 не получаются хотя бы потому, что целого корня из 170 нет.
Однако есть корень из 169=13*13.
Для уточнения "снизу" можем взять число 13,03, и "сверху" 13,04:
13,03*13,03=169,7809
13,04*13,04=170,0416
То есть корень из 680 лежит в промежутке между 26,06 и 26,08 (домножили на двойку -- корень из 4-ки) .

Можно уточнять так и дальше, а можно искать другими методами (см. извлечение корня).
Калькуляторы, собственно, представляют исходное число в виде суммы 1+x в степени 1/2 и раскладывают в ряд тейлора до нужной точности.