Сын стоял на учете в службе занятости его "попросили" написать заявление об отказе. Может он снова встать на учет ?

Об отказе от предложенных рабочих мест! Это же совсем другое дело.
Через определенное время, такой человек будет снят с учета.

Странные люди - попросили написать - и написали. И только потом спрашивают а поставят опять на учет. Зачем делать то что просят не проверив? Уверенна что было бы у них основания снятия с учета не просили бы заявление. Может они за вас и пособие получают.