какое из этих слов, мог получить приз в конкурсе на мягкость: жёсткий, зефир, шипучий, ягуар, целый, часовой?

Жесткий- 2 мягких звука (кь, йот), но здесь буква Е (йот+э)
Зефир- 2 мягких звука (зь, фь)
Шипучий- 2 мягких звука (ч, йот)
Целый- 1 мягкий звук (йот)
Часовой- 2 мягких звука (ч, йот)
Это если делать фонетический разбор.
Получается, что первое слово побеждает!