1.Сторона правильного десятиугольника равна 10. Найти радиус описанной окружности.
2.Сторона правильного двадцатиугольника равна 6. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и площадь.
1) Рассмотрим треугольник, образованный стороной
многоугольника и радиусами описанной окружности,
соединяющей ее центр и конечные точки этой стороны.
В этом треугольнике опустим высоту из вершины -
центра окружности на сторону многоугольника.
(это кстати есть радиус вписанной окружности, что важно для задачи 2).
Пусть а - строна 10-угольника, R - радиус опианной
окружности.
Угол этого треугольника с внршиной в центре окружности (центральный угол) равен 360 / 10 = 36 гр.
Имеем соотношение
а = 2 * R * sin (36 / 2),
Откуда
R = а / (2 * sin 18).
2) Рассмотрим такой же треугольник для 20-угольника.
Центральный угол здесь 360 / 20 = 18 гр
Имеем соотношение
а = 2 * R * sin (18 / 2),
Откуда
R = а / (2 * sin 9).
Радиус вписанной окружности (то есть высота треугольника)
выражается через радиус описанной окружности
r = R * cos 9, то есть
r = (а * cos 9) / (2 * sin 9) = (а * ctg 9) / 2.
Площадь 20-угольника вычисляется как площадь уже
упомянутого треугольника, умноженная на 20.
S = 20 * a * r / 2 = 5*a^2*ctg 9
⇢