⇢ 
Катя
Есть ли в русском языке (старом или новом - в любом) слово "будемте"?
НИ
Никита Иванов
Нет других вариантов.
АК
Анастасия Крутова
Инфинитив - быть, я - буду, ты - будешь, он - будет, мы - будем, вы - будете, они - будут. Других вариантов нет.
Оля
В старом русском языке может и было такое выражение, но в новом -нет