Нужно ли менять ИНН, если поменяла место прописки, но город тот же

не нужно...

ИНН давно уже никому не нужная бумажка.
Даже ФНС требует сведения о начислениях без упоминания этой самой ИНН.

Нет. По нему вычисляют вне от места проживания.

ИНН - это индивидуальный номер налогоплательщика, от не меняется ни от места прописки, ни от места проживания. Менять его не нужно.

ИНН менять не надо, но когда я 5 лет назад поменял прописку, мне сказали чтобы в течении 3 дней проинформировать налоговую инспекцию, иначе штраф 5000, что по тем временам мне казалось существенной цифрой. И сейчас тоже, но тогда особенно. Мне выдали новое свидетельство предпринимательское с новым адресом, дополнительное. Как обстоят дела в вашем регионе и в вашем случае, и какие сейчас штрафы не знаю, но лучше обратиться.