Экспериментально получены пять значений искомой функции y = f (x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) вида y = ax+b.
1. Нам необходимо найти такие величины параметров а и b, чтобы сумма квадратов отклонений у от их измеренных значений была минимальной. Т. е.
пусть δi = yi - a*xi - b - отклонение теоретического положения у от измеренного,
тогда необходимо, чтобы:
S = ∑(δ)² была минимальной.
2. Минимум найдем, полагая, что а и b - переменные. Возьмем частные производные от суммы по этим переменным:
∂S/∂a = -2∑(yi - a*xi - b)*xi
∂S/∂b = -2∑(yi - a*xi - b)
Приравняем эти производные к 0.
-2∑(yi - a*xi - b)*xi = 0
∑(yi - a*xi - b)*xi = 0
∑(yixi) = ∑a*xi² + ∑b*xi
Аналогично:
∑(yi - a*xi - b) = 0
∑(yi - a*xi) = b*5 (b*5 - т. к. у нас всего 5 измеренных значений, так что сумма берется от 1 до 5)
Итого у нас получается система из двух уравнений:
∑(yixi) = ∑a*xi² + ∑b*xi
∑(yi - a*xi) = b*5
Подставив в первое и второе уравнения значения хi и yi из таблицы приведем его к виду:
XY = aX² + bX
Y - aX = 5b
где ХY = ∑(yixi), X = ∑(xi), Y = ∑(yi)
Выразив b из второго уравнения и подставив его в первое найдете а, а затем и b.
Это и будут искомые значения коэффициентов.
Успехов!
⇢