решение показательных уравнений

[ссылка заблокирована по решению администрации проекта] решения показательных уравнений
1 тип: приведение к одному основанию левой и правой частей, применяя свойства степеней:

а) .

Проверка: ; ; =;

б) .

Решение: ; ; ;

; ; ;

(х+5)(х–3)=(х+25)(х–7); х2+5х–3х–15=х2+25х–7х–175; 16х=160; х=10.

Проверка: х=10. ; ; ;

; = – верно.

Ответ: х=10;

в) .

Решение: ; ; ; ; ; x=1.

Проверка: ; ; = – верно.

Ответ: х=1;

г) .

Решение: ; ½3х–4½=4х–4,

для х ³ имеем ½3х–4½=3х–4 и тогда уравнение запишем в виде
3х–4=4х–4; –х=0; х=0; для х < имеем ½3х–4½=4–3х и уравнение запишем в виде 4–3х=4х–4; –7х=–8; х=.

Проверка: х=0. ; ; – не верно.

х=. ; ; – верно.

Ответ: х=.

2 тип – уравнения вида P(ax)=0, где P(y) – многочлен 2 или 3 степени, или уравнения, сводящиеся к ним. Такие уравнения решаются методом подстановки: ax=y, решаем уравнение P(y)=0, находим его корни yi и потом решаем простейшее уравнение ax= yi.

Пример: а) .

Решение: .

Обозначаем: = y; 3y2–10y+3=0; D=25–9=16; y1=3; y2=.

Получаем: 1. =3; ; ; х1=2.

2. =; ; ; х2=–2.

Проверка: 1. ; 3×9–10×3+3=0 – верно.

2. ; ; – верно.

Ответ: х=2; х=–2;

б) .

Решение: . Пусть 4х=y, y2+12y–64=0,

y1,2=–6±=–6±10,

y1=4; y2=–16 (п. к.) , т. к. 4х > 0, 4х=4 Þ х=1.

Проверка: ; 16+3×16–64=0; 16+48–64=0 – верно.

Ответ: х=1;

в) .

Решение: , .

Пусть , ,

,

; ; ; ; ; ; x=20.

Проверка: x=20. , – верно.

Ответ: х=20.

г) .

Решение: . Пусть ; тогда уравнение запишем в виде ; y1,2=2; y1=3 и y2=1; или ; x2–1=1; x2–1=0; x=; x=±1.

Проверка: x=; ; 9–12+3=0 – верно;

х=±1; ; 1–4+3=0 – верно.

Ответ: x=; х=±1.

3 тип – метод вынесения общего множителя за скобки:

а) .

Решение: ; ; ;

; ; ; х=0.

Проверка: ; ; 0,992=0,992 – верно.

Ответ: х=0;

б) .

Решение: ; ;

; ; х=0.

Проверка: ; 49–1+2–2=48; 48=48 – верно.

Ответ: х=0;

в) .

Решение: ; ;

; ; ; ; х=2.

Проверка: ; ; 2–8+3=–3;

–3=–3 – верно.

Ответ: х=2.

4 тип – уравнения вида решаются путем деления членов на или .

а) .

Решение: Делим на .

; .

Положим, тогда имеем ; . Решаем это уравнение и получаем y1=1, y2=. Следовательно: ; .

Проверка: х=0; ; 3+2=5 – верно;

х=; ; 12+18=30 – верно.

Ответ: х=0; х=.

б) .