Используя конструкцию дифференциала функции, оцените изменение функции z=f(x,y)=arctg(3x+2y^2), если М0(нулевое) (2; 3) −исходная, а М (1,96; 3,02) −новая точка в области определения функции.
как решить эту задачу? не понимаю
Мы перешли от точки М0 к точке М. Вопрос состоит в том, как изменилось значение функции, то есть увеличилось значение или уменьшилось?
Во-первых воспользуемся тем, что функция арктангенс строго возрастающая. Поэтому от сравнения значений функции f(x,y)=arctg(3x+2y^2) можно перейти к сравнению значений функции g(x,y)=3x+2y^2.
Вычислим разность значений функции g(x,y)=3x+2y^2 в точках М0(x_0;y_0) и М (x;y). Так мы используем конструкцию дифференциала функции и оценим изменение функции g(x,y), а вместе с ней и изменение функции f(x,y):
3x_0+2y_0^2 - 3x+2y^2 = 3(x_0 - x) + 2(y_0^2 - y^2) = 3(x_0 - x) + 2(y_0 - y)(y_0 + y) =
= 3(2-1,96) + 2 (3-3,02) (3+3,02) = 3*0.04 + 2 * (-0,02) * 6,02 = 0,12 - 0,2408 = -0,1208
Так как разность меньше нуля, то значение в точке М0 меньше чем значение в точке м, значит при переходе от точки М0 к точке М функция возросла.
⇢