Что защищают аспиранты? Кандидатскую или нет? И обязательно ли это?

Кандидатскую.
Кандидатская обязательна, поскольку она и есть цель учёбы в аспирантуре.

Некоторым соискателям, в случае совершения ими открытий, большого личного вклада в науку, новизну направления в исследованиях ученый совет может кандидатскую диссертацию зачесть как докторскую.