Какова история слова память, и есть ли связь с древнерусским словом "мять"?

Общеславянский корень. Производное от *mьntь ( мять) + суф. образование (суф. -ть) .
ТОЛЬКО "мять" в переводе: мысль, мнение, разум, рассудок,
а не сминать, не давить.
Сюда же: мнить, мню.