Помогите пожалуйста написать программу в Delphi.

Для начала нужно вывести закономерности получения слагаемых:

k=1 : f(1) = (-1)·x/2/1 = -x/2
k=2 : f(2) = (-1)·x/2/(1·2) = x/2/2 = f(1)·x / 2 / 2
k=3 : f(3) = (-1)·x/2/(1·2·3) = -x/2/2/3 = -f(2)·x / 2 / 3

Просматривается закономерность, но нет точки отсчёта.
Посмотрим чему равна функция при k=0:

f(0) = (-1)·x/2/0! = 1·1/1/1 = 1

Теперь можно в цикле посчитать:

s := 0; slog := 1;
for k := 1 to 5 do
begin
slog := -slog * x / 2 / k;
s := s + slog;
end;

Вот и всё!