Как правильно говорить: Совершить обход территории или произвести обход территории?

Можно так и так.

В данном случае Ученик "более прав".
Для данного употребления эти слова являются синонимами.

А вот примеры, когда "производят" отнюдь не "вещи", причем в этих случаях не говорят "совершить":
Произвести выстрел.
Произвести обыск.
Произвести вычисления.
Произвести в очередное звание.
А вот, например, преступление только "совершают", но не производят.

Кстати, я бы и в приведенном случае предпочел бы второй вариант, поскольку он оттеняет исполнение служебных обязанностей.

Кашшшмар. Здесь даже не нужно искать в словарях значение слова "произвести".
"Произвести обход" лексически не сочетаются. То бишь -- так просто не говорят.