⇢ МЯ
Максим Якимчук
математика 10 профильный класс.
докажите что для любого натурального значения n справедливо утверждение:
(n^3+35n) кратно 6
ПК
Петя Карсаков
Если n четное n^3+35n (четн + четн = четн. ) делится на 2.
Если n нечетное (n^3+35n) (нечетн. + нечетн = четн) делится на 2.
Докажем делимость на 3
Преобразуем
n^3+35n = n((n+1)(n+2)-3n +33) = n(n+1)(n+2) -3n^2 +33n
n(n+1)(n+2) - делится на 3
3n^2 - делится на 3
33n - делится на 3.
n^3+35n делится на 2 и на 3. Значит делится на 6.
ДС
Джонатан Свифт
докажем методом индукции
при n=1 1+35=36 кратно 6
пусть верно при n=m m^3+35m кратно 6
покажем что верно при m+1
(m+1)^3+35(m+1)=m^3+3m^2+3m+1+35m+35
m^3+35m- кратно 6 по предположению
3m^2+3m+36
36 - кратно 6
m^2+m=m(m+1) четное, следовательно 3m^2+3m кратно 6.
наше предположение верно, теорема доказана
Похожие вопросы