В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 60 градусов вписан прямоугольник так, что ОДНА из его СТОРОН лежит на гипотенузе. Чему равна наибольшая площадь такого прямоугольника?
Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, и острым углом А=60 градусов. Пусть CDKN – данный прямоугольник, точка D лежит на катете AC, K лежит на гипотенузе AB=8 см, точка N лежит на катете BC.
Тогда по условию задачи BC=AB*sin A=8*sin 60=4*корень (3).
АС=8*сos 60=8*1\2=4
Пусть CD=x см, тогда AD=4-x см
Тогда DK=AD*tg A=(4-x)*корень (3)
Площадь прямоугольника CDKN S(x)=CD*DK=x*(4-x)*корень (3)
Ищем производную S’(x)=корень (3)*(4-х-х) =2 *корень (3)*(2-х)
Ищем критические точки S’(x)= 2 *корень (3)*(2-х) =0
Х=2
От 0 до 2 производная больше 0, от 2 до 8 меньше 0, значит в точке 2 у функции максимум, то есть площадь прямоугольника S(x) принимает наибольшее значение для х=2
S(2)= 2*(4-2)*корень (3)=4*корень (3).
Овтет: 4*корень (3).
вроде все так*
⇢