можно ли из Грузии отправиться в Сочи через Абхазию? Мне интересно дороги открыты или нет? и вообще не будет ли проблем?

Можно из Грузии отправится в Сочи МИНУЯ Абазию - лучше.
А если ЧЕРЕЗ Абхазю - одни проблемы и будут.

Дороги сначала найти надо

Вас никто не пропустит через реку Ингури, так, что ищите в Сочи другую дорогу, не через Абхазию

Проблемы будут однозначно. По грузинским законам пересечение границы между Абхазией и Россией является уголовным преступлением. Так что если вы потом опять приедете в Грузию, вас ждёт сюрприз.