Какой частью речи является имя Марья? Сущ, глаг, наречие, предлог?

МАРЬЯ – это имя существительное, так как:
◆ на падежный вопрос КТО? отвечает;
◆ обозначает предмет (в грамматике предметом называют всё то, о чём можно спросить: КТО ЭТО? ЧТО ЭТО?);
◆ в предложении в данной форме (а это начальная форма – именительный падеж единственного числа) может быть подлежащим (Марья собирается в театр), сказуемым (Её имя – Марья).

Кроме того, категорией одушевлённости / неодушевлённости, а существительное МАРЬЯ одушевлённое) обладают только имена существительные.

Имя существительное МАРЬЯ – собственное, одушевлённое, женского рода, 1-го склонения.
.