Доказательство тригонометрического неравенства.

Добрый день. Подскажите - есть ли более короткий путь решения задачи, и приведенное мной решение является ли верным?
Доказать что неравенство выполняется для любых углов x, y, z принадлежащих [0 ; pi]
sin x + sin y + sin z <= 3*sin((x+y+z)/3)
________________________________________
Я его решал по следующей схеме:
составляем функцию типа f(x) = 3*sin((x+y+z)/3) - (sin x + sin y + sin z) - причем y,z - фиксированы
Находим производную, ищем экстремумы и определяем значение данной функции на краях (0, pi) и в точках равенства производной нулю.
И далее делаем вывод, что поскольку f(x) - имеет наименьшее значение на заданном промежутке равное 0 - то неравенство выполняется.
В силу симметрии аналогично доказываются f(y), f(z)
и в заключении пишем что f(x,y,z) всегда больше либо равно нуля на заданном множестве и следовательно неравенство доказано.
___________
Каким бы вы путем стали доказывать это?
Спасибо