Доказательство тригонометрического неравенства.

Question

Добрый день. Подскажите - есть ли более короткий путь решения задачи, и приведенное мной решение является ли верным? 
Доказать что неравенство выполняется для любых углов x, y, z принадлежащих [0 ; pi] 
sin x + sin y + sin z <= 3*sin((x+y+z)/3) 
________________________________________ 
Я его решал по следующей схеме: 
составляем функцию типа f(x) = 3*sin((x+y+z)/3) - (sin x + sin y + sin z) - причем y,z - фиксированы 
Находим производную, ищем экстремумы и определяем значение данной функции на краях (0, pi) и в точках равенства производной нулю. 
И далее делаем вывод, что поскольку f(x) - имеет наименьшее значение на заданном промежутке равное 0 - то неравенство выполняется. 
В силу симметрии аналогично доказываются f(y), f(z) 
и в заключении пишем что f(x,y,z) всегда больше либо равно нуля на заданном множестве и следовательно неравенство доказано. 
___________ 
Каким бы вы путем стали доказывать это? 
Спасибо

Анастасия Шишова · Accepted Answer

Ссылка (убери пробелы) : 
bit . ly / 17kdYTU