Почему 1+3 = 4, 1+3+5 = 9, 1+3+5+7 = 16 и т. д. Почему так получается?)

Question

(Почему при сложении неч. чисел идущих под ряд извл. корень)

Екатерина Виряскина · Accepted Answer

Потому что 1+3+...+2n-1 - это сумма арифметической прогрессии и сумма её первых n членов вычисляется по формуле (a1+an)/2*n=(1+2n-1)/2*n=n*n=n². 
 
Чтобы представить это более наглядно, представьте себе квадрат. Чтобы получить в два раза больший квадрат, нужно к двум его смежным сторонам приставить ещё по одному квадрату и ещё один квадрат к углу - всего 3 квадрата. Чтобы получить из квадрата 2*2 квадрат 3*3 нужно к двум смежным его сторонам приставить по два квадрата и ещё один квадрат к углу - всего 5 квадратов ...Чтобы получить из квадрата (n-1)*(n-1) квадрат n*n нужно к двум его смежным сторонам приставить по (n-1) квадратов и ещё один квадрат к углу - всего 2(n-1)+1=2n-1 квадрат.. . 
Получается, что каждый раз мы приставляем на два квадрата больше и общее количество маленьких квадратов, составляющих большой квадрат, которое равно n², равно сумме нечётных натуральных чисел от 1 до 2n-1. 
 
Рисовать всё это лень. Надеюсь, и так понятно.

Александр · Answer

Возьмем произвольное натуральное число "n". Его квадрат "n^2". 
Следующее натуральное число (n+1), его квадрат (n+1)^2=n^2+2*n+1, а разность квадратов двух идущих подряд натуральных чисел равна 2*n+1, т. е. нечетное число. И так будет при любом целом числе n", не только натуральном.