Как решается уравнение вида y''+y'-2y=1

y'' + y' - 2y = 1

Сначала найдем общее решение:

y = e^(kx)

e^(kx)'' + e^(kx)' - 2e^(kx) = 0

k + k - 2 = 0

k = -2; k = 1

y1 = C1*e^(-2x)

y2 = C2*e^(x)

y = y1 + y2 = C1*e^(-2x) + C2*e^(x)

Найдем частное решение:

y'' + y' - 2y = 1

y_p = A //_p - индекс.

y_p'' = A = 0

y_p' = A = 0

y_p'' + y_p' - 2y_p = 1

-2A = 1

A = -1/2

--> y_p = -1/2

--> y = C1*e^(-2x) + C2*e^(x) - 1/2

Ответ: y = C1*e^(-2x) + C2*e^(x) - 1/2