помогите привести контрпримеры по теме пределы...

Question

буду очень благодарна если приведете хотя бы к чему-нибудь... 
1) Если a – точка разрыва второго рода функции f, то f не является локально ограниченной в этой точке. я думаю взять функцию sin(1/x) но сомневаюсь... 
2) Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки a. Если f(a) > 0, то ∃U(a; E) : ∀ x ∈ U(a; E) f(x) > 0. E-эпсилон 
3) Если функция f определена на [a; b], f(a) > 0, f(b) < 0, то ∃ c ∈ [a; b] f(c) = 0. 
4) Если a – точка разрыва функций f и g, то функция y = f(x)+g(x) разрывна в точке a. 
5) Если функция достигает свои точные границы на [a; b], то она является непрерывной на этом отрезке. вот тут я думаю привести 1/x на [-1;1] о тоже сомневаюсь... 
6) Если в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов последовательности {xn}, то {xn} – бесконечно малая. 
7) Если a – точка разрыва функции f и f локально ограничена в этой точке, то a –точка разрыва f 1 рода.

Алексей Карташов · Accepted Answer

1) sin(1/x) -- правильно. 
2) Функция-ступенька: f(x) = 0 при х<0, =1 при x>=0; a = 0. 
3) f(x) = ступенька - 1/4. 
4) g(x) = -f(x)+h(x), h(x) -- любая непрерывная функция. 
5) Правильно. 
6) xn = sin(n). 
7) sin(1/x), a = 0.