Кто должен первым расписываться в путевом листе врач или механик?

Врач конечно.
Механик разрешает выезд на линию исправного автомобиля с трезвым водителем, а не проверяет состояние водителя.

При выпуске машины на линию сначала, ессно, готовится автомобиль и именно на автомобиль выдается "путевка". Замена водителя занимает меньше времени, чем ремонт машины
Соответственно первый автограф должен быть сделан механиком, ответственным за тех состояние автотранспорта.

врач

Врач ставит подпись последним.

Разницы нет, как начальство организует, так и будет.

Да по разному было, пока механику 20 тысячь штрафу не выписали, за выпуск на линию нетрезвого водителя. (к медику не пошел, подпись механика есть)
Затем приказом отрегулировали порядок, сначала медик, а уж потом механик.