почему литературные герои-частные сыщики всегда сотрудничают с полицией

С юридической точки зрения - потому что лично у них не было права арестовывать преступников и предъявлять им обвинения.

С художественной - в литературных произведениях, часто, требовался иронический образ "чайника", смешной на фоне главного героя (например, Лейстрейд). А так же и для других художественных и сюжетных ходов. (например, для исполнения роли слушателя, грубой силы, неожиданной подмоги.)
Но далеко не все сыщики сотрудничали с полицией. Шерлок Холмс не брезгует помощью инспектора Лейстреда, но это так, отстраненно-ироническая позиция. Ниро Вульф и его верный Арчер едва ли не конфликтуют с полицией по каждому делу, серьезные "проблемы" и у героев Дэшила Хэммета, и у героев произведений новых времен - у Р. Ладлема, например. Из "великих детективов", пожалуй, только комиссар Мегрэ - "стопроцентный полицейский", но и ему в доброй трети дел и эпизодов приходится вести что-то вроде самостоятельного расследования.