Можно ли школьникам работать всё лето? Если можно то нужно каждый месяц менять работу? Или как?

Нет, работу менять не обязательно можешь работать все лето и даже зимой, но работодатель должен соблюдать норматив по ТК РФ.

Рабочее время несовершеннолетних статья 94 ТК РФ
Во время каникул:
14-15 лет — не боле 5 часов в день;
16-18 лет — не боле 7 часов в день.
В течение учебного года:
14-15 лет — не боле 2, 5 часов в день
16-18 лет — не боле 3, 5 часов в день
Отсюда следует, что и продолжительность рабочей недели у несовершеннолетних меньше 40 часов (статья 92) :
во время каникул:
14-15 лет — 24 часа
16-18 — 36 часов
Во время учебного года:
14-15 лет — 12 часов
16-18 лет — 18 часов
Запрещается трудоустройство подростков (статья 265, 268) :
на тяжелые работы
на работы с вредными или опасными условиями труда
в ночное время,
на работах, выполнение которых может причинить вред их здоровью и нравственному развитию (игорный бизнес, работа в ночных кабаре и клубах) ,
на работы по переноске и передвижению тяжестей, превышающих установленные для них предельные нормы (в 14 лет – ручной груз не больше 12 кг, в 15 лет – 15 кг. ) ,
на работы, связанные с производством, хранением и торговлей спиртными напитками, табачными изделиями, наркотическими и токсическими препаратами,
на работы, выполняемые вахтовым методом.