может ли болеть горло как при простуде при больной щитовидки?

Да, часто боль в щитовидке бывает очень похожа на боль в горле.
Обратитесь к врачу. Рекоменду сделать узи щитовидки и анализ на гормоны а также, для начала осмотр ЛОРа.

при щитовитки першение часто бывает

Нет... Боль в горле и проблемы с щитовидкой никак не связаны.