Я вдруг непонял: какая разница между meinen и denken в немецком? Помогите разобраться, пожалуйста.

Во многих случаях это синонимы, но есть и смысловая разница:
meinen - иметь мнение, полагать, считать, думать; подразумевать.
denken - думать (в самом широком смысле слова).

Was meinst du mit deiner Anspielung? - Что ты подразумеваешь под твоим намёком?
Ich denke an dieses Problem - Я размышляю над этой проблемой.