Математика

Question

Я по поводу ряда Тейлора. Подскажите. В какой окрестности точки х0 происходит линеаризация функции. Я читал что чем больше членов в ряде Тейлора. И чем меньше окрестность линеаризации тем выше точность вычислений (тем больше функция эквивалентна) . Никак не могу понять откуда берётся эта окрестность. Понимаю что х-х0 это дельта х т. е. приращение. Т. е расстояние необходимое х чтобы приблизиться и стать точкой х0. Пусть линеаризируем функцию x^2 в точке х0=1 Вопрос: правильно ли я понимаю что функция линеаризуется в окрестности х0-1 и х0+1 т. е. от о до 2 по оси х. Чертил всяческие графики различных функций в интернете потом раскидывал на ряд Тейлора и чертил их . Функция линеаризуется только в какой окрестности. Если кто объяснит буду очень благодарен. Ломаю голову второй час. Заранее огромное спасибо!! !

Игорь Крылов · Accepted Answer

Для начала: линеаризация - это замена реальной функции ее приближением - линейной функцией. Теперь по пунктам. 
 
>В какой окрестности точки х0 происходит линеаризация функции. 
Да как мы захотим, такую окрестность и выберем. Просто если возьмем слишком большую окрестность для линеаризации, то точность будет низкая, а чем меньше - тем точность выше. 
 
>Вопрос: правильно ли я понимаю что функция линеаризуется в окрестности х0-1 и х0+1 т. е. от о до 2 по оси х. 
Если мы линеаризуем функцию y=x^2 на отрезке (0;2) при x0=1, то получим y=2x-1, и максимальное отклонение (на краях отрезка) будет составлять 1. Если же возьмем отрезок (0,9;1,1), то на краях отрезка расхождение будет уже 0,01 - т. е. точность повысилась.